Question

（理科學(xué)生做）α，β是關(guān)于x的方程x²+2x+p²+1=0（p＞0）的兩個(gè)虛根，若復(fù)平面上α，β，1對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，那么實(shí)數(shù)p=

2 3

3

．

Answer 1

分析：由題意，可設(shè)α=m+ni，則由實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)定理可得β=m-ni，且m與n為實(shí)數(shù)，n≠0．由根與系數(shù)的關(guān)系得到m，n的關(guān)系，上α，β，1對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求得到實(shí)數(shù)p的值．

解答：解：設(shè)α=m+ni，則由實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)定理可得β=m-ni，且m與n為實(shí)數(shù)，n≠0．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=2m=-2，α•β=m²+n²=p²+1．
∴m=-1，p²=n²．
∵復(fù)平面上α，β，1對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，
∴tan

π

6

=

3

3

=

|n|

|m-1|

=

|n|

2

，
解得|n|=

2 3

3

，
∴實(shí)數(shù)p=

2 3

3

，
故答案為

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)定理、根與系數(shù)的關(guān)系，得到tan

π

6

=

3

3

=

|n|

|m-1|

，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．