Question

（2013•泉州模擬）已知周期函數f（x）的定義域為R，周期為2，且當-1＜x≤1時，f（x）=1-x²．若直線y=-x+a與曲線y=f（x）恰有2個交點，則實數a的所有可能取值構成的集合為（　　）

• A．{a|a=2k+

  3

  4

  或2k+

  5

  4

  ，k∈Z}
• B．{a|a=2k-

  1

  4

  或2k+

  3

  4

  ，k∈Z}
• C．{a|a=2k+1或2k+

  5

  4

  ，k∈Z}
• D．{a|a=2k+1，k∈Z}

Answer 1

分析：由題意畫出函數f（x）的圖象，并在圖中畫出關鍵直線，再由條件轉化為求出相切時的切點坐標，利用導數的幾何意義，然后再把坐標代入切線方程求出a的值，

解答：解：由題意畫出函數f（x）的圖象，如下圖：
其中圖中的直線l的方程為：y=-x+1，此時恰有兩個交點，
由圖得，當-1＜x≤1時，直線l向上平移過程中與曲線y=f（x）恰有3個交點，
直到相切時，
設切點為p（x，y），則f′（x）=-2x，
∴-1=-2x，解得x=

1

2

，即y=f（

1

2

）=1-

1

4

=

3

4

，
∴p（

1

2

，

3

4

），代入切線y=-x+a，解得a=

5

4

，
∵f（x）的定義域為R，周期為2，
∴所求的a的集合是：{a|a=2k+1或2k+

5

4

，k∈Z}，
故選C．

點評：本題考查了函數的性質以及圖象的應用，導數的幾何意義，考查了數形結合思想，關鍵正確作圖．