Question

（2010•宿州三模）在數列{a_n}中，已知a_n+1+a_n-1=2a_n（n∈N₊，n≥2），若平面上的三個不共線的非零向量

OA

、

OB

、

OC

，滿足

OC

=a1005

OA

+a1006

OB

，三點A、B、C共線，且直線不過O點，則S₂₀₁₀等于（　　）

A．1005

B．1006

C．2010

D．2011

Answer 1

分析：由a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a為常數），知數列{a_n}是等差數列，由

OC

=a1005

OA

+a1006

OB

，且A、B、C共線，知a₁+a₂₀₁₀=1，再由等差數列的前n項和公式能夠求出S₂₀₁₀．

解答：解：在數列{a_n}中，已知a_n+1+a_n-1=2a_n（n∈N₊，n≥2），∴數列{a_n}是等差數列．
三點A、B、C共線的充要條件是，對平面內任意一點O，都有

OC

=m 

OA

+(1-m)

OB

．
∵

OC

=a1005

OA

+a1006

OB

，∴a₁₀₀₅+a₁₀₀₆=1，∴a₁+a₂₀₁₀=1，則S₂₀₁₀ =

2010×(a1+a2010)

2

=1005．
故選：A．

點評：本題考查向量和數列的綜合運用，解題時要認真審題，注意A、B、C三點共線的充要條件是：對平面內任意一點O，都有

OC

=m 

OA

+(1-m)

OB

，解題的關鍵是由

OC

=a1005

OA

+a1006

OB

，且A、B、C共線，知a₁+a₂₀₁₀=1．