Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)，A是其右頂點(diǎn)，過作x軸的垂線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，G是△PF₁F₂的重心，若

.

GA

•

.

F1F2

=0，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：求出F₁，F(xiàn)₂、A、G、P的坐標(biāo)，由

GA

•

F1F2

=0，得GA⊥F₁F₂，故G、A 的橫坐標(biāo)相同，可得

c

3

=a，從而求出雙曲線的離心率．

解答：解：由題意可得  F₁ （-c，0），F(xiàn)₂ （c，0），A（a，0）．把x=c代入雙曲線方程可得y=±

b2

a

，
故一個(gè)交點(diǎn)為P（c，

b2

a

），由三角形的重心坐標(biāo)公式可得G（

c

3

，

b2

3a

 ）．
若

GA

•

F1F2

=0，則 GA⊥F₁F₂，
∴G、A 的橫坐標(biāo)相同，
∴

c

3

=a，
∴

c

a

=3，
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，角形的重心坐標(biāo)公式，求出重心G的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．