Question

設函數，是定義域為的奇函數．
（Ⅰ）求的值，判斷并證明當時，函數在上的單調性；
（Ⅱ）已知，函數，求的值域；
（Ⅲ）已知，若對于時恒成立.請求出最大的整數．

Answer 1

（Ⅰ），在R上為增函數；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大整數為10.

試題分析：（Ⅰ）由奇函數的性質得，由單調性的定義證明 在R上是增函數；
（Ⅱ）由可得，，由換元法令，將函數轉化為二次函數求最值；（Ⅲ）時，原式可化為，令，由分離參數的方法得到，進而得到的取值范圍.本題中用到換元法，換元之后應特別注意變元的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）是定義域為R上的奇函數，，得．
，，即是R上的奇函數 2分
設，則，
，，，在R上為增函數 5分
（Ⅱ），即，或（舍去）
則，令，
由（1）可知該函數在區間上為增函數，則
則           8分
當時，；當時，
所以的值域為            10分
（Ⅲ）由題意，即，在時恒成立
令，則
則恒成立
即為恒成立          13分
，恒成立，當時，
，則的最大整數為10           16分