Question

已知數列{a_n}：1，

1

2

+

2

2

，

1

3

+

2

3

+

3

3

，…，

1

100

+

2

100

+…+

100

100

，…
（1）觀察規律，寫出數列{a_n}的通項公式，它是個什么數列？
（2）若bn=

1

anan+1

(n∈N*)，設S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．
（3）設cn=

1

2n

an，T_n為數列{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}：1，

1

2

+

2

2

，

1

3

+

2

3

+

3

3

，…，

1

100

+

2

100

+…+

100

100

，…可知：an=

1+2+3+…+n

n

=

n(n+1) 2

n

=

n+1

2

．判斷a_n+1-a_n是否是一個常數即可．
（2）bn=

1

n+1 2 • n+2 2

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)．利用“裂項求和”即可得出S_n．
（3）由（1）可得cn=

n+1

2n+1

．利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）由數列{a_n}：1，

1

2

+

2

2

，

1

3

+

2

3

+

3

3

，…，

1

100

+

2

100

+…+

100

100

，…可知：an=

1+2+3+…+n

n

=

n(n+1) 2

n

=

n+1

2

．
∴an+1=

n+2

2

，
∴a_n+1-a_n=

n+2

2

-

n+1

2

=

1

2

（n≥1），
因此數列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數列．
（2）bn=

1

n+1 2 • n+2 2

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)．
∴S_n=4[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]=4(

1

2

-

1

n+2

)=

2n

n+2

．
（3）cn=

n+1

2n+1

．
∴Tn=2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

+(n+1)×

1

2n+1

，
2Tn=2×

1

2

+3×

1

22

+…+(n+1)×

1

2n

，
∴T_n=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-(n+1)×

1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-(n+1)×

1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

．

點評：本題考查了等差數列的定義和前n項和公式、“裂項求和”、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．