Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，AB＝2，由頂點B沿棱柱側面經過棱到頂點C1的最短路線與棱的交點記為M，求：

（Ⅰ）三棱柱的側面展開圖的對角線長.

（Ⅱ）該最短路線的長及的值.

（Ⅲ）平面與平面ABC所成二面角（銳二面角）

Answer 1

【答案】⑴；⑵,；⑶45°

【解析】

（Ⅰ）利用側面展開法即可求出對角線長；

（Ⅱ）利用側面展開法進行求解即可，求出DC1和的值即可；

（Ⅲ）連接DB，C1B，可證∠C1BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C1BC中求出此角的大小．

（Ⅰ）正三棱柱的側面展開圖是長為6， 寬為2的矩形，

其對角線長為

（Ⅱ）如圖，將側面繞棱AA1, , 旋轉120°使其與側面在同一平面上，點B運動到點D的位置，連接DC1交AA1于M，則DC1就是由頂點B沿棱柱側面經過棱AA1到頂點C1的最短路線，其長為

,

故；

（Ⅲ）連接DB，C1B，則DB就是平面C1MB與平面ABC的交線，

在△DCB中，

,

,又平面

由三垂線定理得，

就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角（銳角），

∵側面是正方形，，

故平面C1MB與平面ABC所成的二面角（銳角）為45°