Question

【題目】已知函數，若存在常數，對任意都有，則稱函數為T倍周期函數.

（1）判斷是否是T倍周期函數，并說明理由；

（2）證明是T倍周期函數，且T的值是唯一的；

（3）若是2倍周期函數，，，表示的前n項和，，若恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）不是，理由見解析；（2）證明見解析；（3）或.

【解析】

（1）假設是T倍周期函數，推出矛盾即可說明不是T倍周期函數；

（2）根據定義，可得到對任意x恒成立，即可求出的值，證明唯一性即可；

（3）由是2倍周期函數，可求出的奇數項和偶數項，進而可求得和，從而求得的表達式，然后判斷數列的單調性，可求得，使得，解不等式即可.

（1）不是，

假設是T倍周期函數，則，

則對任意x恒成立，

顯然不存在，所以不是T倍周期函數.

（2）設，

則對任意x恒成立，

即，則，

下證唯一性：

若，矛盾，

若，矛盾

是唯一的；

（3），

，

，

…

，

所以，

同理：，

，

.

則，，，

顯然時，，

因為函數在上單調遞減，

所以時，數列是遞減數列，

，

恒成，

，

，

若時，則，解得；

若時，，解得，

綜上，a的取值范圍是或.