Question

已知半徑為1的動圓與圓（x-5）²+（y+7）²=16相切，則動圓圓心的軌跡方程是

（x-5）²+（y+7）²=9或（x-5）²+（y+7）²=25．

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Answer 1

分析：根據題意可得已知圓的圓心為C（5，-7），半徑r=4．若半徑為1的動圓與已知圓相切，則由兩圓相切的位置關系及其性質，可得動圓圓心到C的距離等于3或5，由圓的性質得其軌跡為以C為圓心、半徑等于3或5的圓，由此得到動圓圓心的軌跡方程．

解答：解：圓（x-5）²+（y+7）²=16的圓心為C（5，-7），半徑r=4．
∵半徑為1的動圓與圓（x-5）²+（y+7）²=16相切，
∴當兩圓內切時，動圓圓心A到點C的距離等于兩圓的半徑之差的絕對值，
|BC|=4-1=3，因此動圓圓心的軌跡為以C為圓心，半徑等于3的圓，
軌跡方程為（x-5）²+（y+7）²=9；
當兩圓外切時，動圓圓心B到點C的距離等于兩圓的半徑之和，
|BC|=4+1=5，因此動圓圓心的軌跡為以C為圓心，半徑等于5的圓，
軌跡方程為（x-5）²+（y+7）²=25．
綜上所述，所求動圓圓心的軌跡方程是（x-5）²+（y+7）²=9或（x-5）²+（y+7）²=25．
故答案為：（x-5）²+（y+7）²=9或（x-5）²+（y+7）²=25．

點評：本題給出圓的方程，求半徑為1且與已知圓相切的動圓的圓心軌跡方程，著重考查了圓的標準方程、圓與圓的位置關系和動點軌跡的求法等知識，屬于中檔題．