Question

如圖，△ABO三邊上的點C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB．

(1)求證：直線AB是⊙O的切線；
(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半徑r的長．

Answer 1

（1）見解析  （2）3

解：(1)證明：∵AB∥DE，∴＝，
又OD＝OE，∴OA＝OB．
如圖，連接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB．
又點C在⊙O上，∴直線AB是⊙O的切線．
(2)如圖，延長DO交⊙O于點F，連接FC．
由(1)知AB是⊙O的切線，∴弦切角∠ACD＝∠F，
∴△ACD∽△AFC．
∴tan∠ACD＝tan∠F＝，又∠DCF＝90°，
∴＝．
∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4．
又AC²＝AD·AF，∴2·(2＋2r)＝4²，于是r＝3．