已知橢圓
的離心率為
，且經過點
． 過它的兩個焦點
，
分別作直線
與
，交橢圓于A、B兩點，交橢圓于C、D兩點，且
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求四邊形
的面積
的取值范圍．
（1）
；（2）
解析試題分析：（1）由離心率為可知
，所以
，再將點P的坐標代入橢圓方程得
，故所求橢圓方程為 ；
（2）與垂直，可分為兩種情況討論：一是當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0；二是若與的斜率都存在；
當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積為
；
若與的斜率都存在，設的斜率為
，則的斜率為
．
直線的方程為
，
設
，
，聯立
，消去
整理得，
（1）
，
， 
，
（2），注意到方程（1）的結構特征，或圖形的對稱性，可以用代替（2）中的，
得 
， 
，利用換元法，再利用對構函數可以求出最值，令
，
， 
，綜上可知，四邊形面積的.
試題解析：（1）由，所以， 2分
將點P的坐標代入橢圓方程得， 4分
故所求橢圓方程為 5分
（2）當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，
此時四邊形的面積為， 7分
若與的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為．直線的方程為，
設，，聯立，
消去整理得，
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知直線l：y＝x＋
，圓O：x2＋y2＝5，橢圓E：
＝1(a>b>0)的離心率e＝
，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩條切線的斜率之積為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，點P(0，－1)是橢圓C1：
＝1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.
(1)求橢圓C1的方程；
(2)求當△ABD的面積取最大值時，直線l1的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
己知橢圓C：
（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，斜率為1的直線
與橢圓C交于不同兩點M，N.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線過點F（1，0），求線段
的長；
（3）若直線過點（m，0），且以為直徑的圓恰過原點，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
、
為雙曲線
：
的左、右焦點，過作垂直于
軸的直線，在軸上方交雙曲線于點
，且
．圓
的方程是
．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過雙曲線上任意一點
作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為
、
，求
的值；
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C：
＝1(a>b>0)上兩點，已知m＝
，n＝
，若m·n＝0且橢圓的離心率e＝
，短軸長為2，O為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的右焦點為F2（1，0），點
在橢圓上.
（1）求橢圓方程；
（2）點
在圓
上，M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
，點
，過
的直線
交拋物線
于
兩點.
（1）若
，拋物線的焦點與
中點的連線垂直于
軸，求直線的方程；
（2）設
為小于零的常數，點
關于軸的對稱點為
，求證：直線
過定點
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的焦點為焦點，且過
點的雙曲線的標準方程.