Question

設a、b、m為整數（m＞0），若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余．記為a≡b（bmodm）．已知a=1+

C

1 10

+

C

2 10

•2+

C

3 10

•22+…+

C

10 10

•29，b≡a（bmod10），則b的值可以是（　　）

A．2015

B．2011

C．2008

D．2006

Answer 1

分析：根據已知中a和b對模m同余的定義，結合二項式定理，我們可以求出a的個位，結合b=a（bmod10），比照四個
答案中的數字，結合得到答案．

解答：解：∵已知a=1+

C

1 10

+

C

2 10

•2+

C

3 10

•22+…+

C

10 10

•29，
∴2a=1+2

C

1 10

+2²

C

2 10

+2³

C

3 10

+…+2¹⁰

C

10 10

=1+（1+2）¹⁰，
∴a=1+

C

1 10

+

C

2 10

•2+

C

3 10

•22+…+

C

10 10

•29=

1

2

+

1

2

（1+2）¹⁰ =

1

2

（3¹⁰+1）．
而3¹⁰=9⁵=（10-1）⁵=

C

0 5

•10⁵-

C

1 5

•10⁴+

C

2 5

•10³-

C

3 5

•10²+

C

4 5

•10-1，
故a=

1

2

（3¹⁰+1）=

1

2

（

C

0 5

•10⁵-

C

1 5

•10⁴+

C

2 5

•10³-

C

3 5

•10²+

C

4 5

•10）的個位為5，
∴a除以10的余數為5．
而 b≡a（bmod10），故b≡a（bmod10），故b除以10的余數為5，
結合所給的選項，應選A，
故選A．

點評：本題考查的知識點是同余定理、二項式定理，其中正確理解a和b對模m同余，是解答本題的關鍵，同時利用
二項式定理求出a的個位，也很關鍵，屬于中檔題．