Question

【題目】如圖,已知點P在☉O外,PC是☉O的切線,切點為C,直線PO與☉O相交于點A,B.

（1）試探索∠BCP與∠P的數量關系;
（2）若∠A=30°,則PB與PA有什么關系?
（3）∠A可能等于45°嗎?為什么?

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PC是切線,

∴∠BCP=∠A.

又∵AB是直徑,

∴∠ACB=90°.

在△ACP中,∠A+∠P+∠ACP=180°,

∴∠BCP+∠P+∠ACB+∠BCP=180°.

∴2∠BCP+∠P+90°=180°.

∴∠P=90°-2∠BCP.

（2）解：若∠A=30°,則∠BCP=∠A=30°,∠ABC=60°.

∴∠P=30°,∴PB=BC,BC= AB.

∴PB= PA,即PA=3PB.

（3）解：∠A不可能等于45°.

原因:設∠A=45°,則∠ABC=45°,∠BCP=45°,

∴CP∥AB,與題干中PC與AB交于點P矛盾,

∴∠A不可能等于45°.

【解析】本題主要考查了弦切角的性質，解決問題的關鍵是根據弦切角的性質結合所給幾何條件分析計算即可解決問題，有一定難度.