給定橢圓C：
＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是
的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(
，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為
.
(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；
(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
·
的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l1，l2是否垂直？并說明理由．
發散思維新課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，圓
與直線
相切于點
，與
正半軸交于點
，與直線
在第一象限的交點為
.點
為圓上任一點，且滿足
，動點
的軌跡記為曲線
．
（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線
和
分別交曲線于點
、
和
、
，求四邊形
面積的最大值，并求此時的
的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，已知
，
，
是橢圓
上不同的三點，
，
，在第三象限，線段
的中點在直線
上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點
在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于
，
兩點，證明
為定值并求出該定值．
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如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓
＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設過點T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.
(1)設動點P滿足PF2－PB2＝4，求點P的軌跡；
(2)設x1＝2，x2＝
，求點T的坐標；
(3)設t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)．
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已知拋物線D的頂點是橢圓C：
＝1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
(1)求拋物線D的方程；
(2)過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點．
①若直線l的斜率為1，求MN的長；
②是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．
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已知橢圓C的中點在原點，焦點在x軸上，離心率等于
，它的一個頂點恰好是拋物線
的焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)己知點P(2，3)，Q(2，-3)在橢圓上，點A、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足
APQ=BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．
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如圖所示，直線l1和l2相交于點M，l1⊥l2，點N∈l1，以A、B為端點的曲線段C上任一點到l2的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|＝
，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立適當的坐標系，求曲線段C的方程．
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如圖，正方形CDEF內接于橢圓
，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形GHPQ的頂點G,H在橢圓上，頂點P，Q在正方形的邊EF上．且CD=2PQ=
．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0)，l交橢圓于A,B兩個不同點，求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．
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＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線方程為y＝±
x，若頂點到漸近線的距離為1，求雙曲線方程．