Question

函數(shù)f（x）=3x-x³在區(qū)間（a²-12，a）上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-1，2]

．

Answer 1

分析：求函數(shù)f（x）=3x-x³導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間（a²-12，a）上有最小值，故最小值點(diǎn)的橫坐標(biāo)是集合（a²-12，a）的元素，由此可以得到關(guān)于參數(shù)a的等式，解之求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：由f（x）=3x-x³，
得f'（x）=3-3x²，
令f'（x）＞0，解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1
由此得函數(shù)在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
故函數(shù)在x=-1處取到極小值-2，
因?yàn)楹瘮?shù)在（a²-12，a）的端點(diǎn)處的函數(shù)值取不到，
所以此極小值必是區(qū)間（a²-12，a）上的最小值．
∴a²-12＜-1＜a，解得-1＜a＜

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又當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=-2，故有a≤2
綜上知a∈（-1，2]．
故答案為（-1，2]．

點(diǎn)評：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)中工具的一個(gè)重要運(yùn)用，要注意把握其作題步驟，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，得出最值，是中檔題．