Question

給出下列四個命題：①若y=±

3

x是一個雙曲線的兩條漸近線，則這個雙曲線的離心率為2；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件；
③若a＞0，b＞0，且a+b=4，則

1

a2+b2

的最大值是

1

8

；
④若f（x）=1-|x-1|（x＞0），則函數F（x）=xf（x）-1只有一個零點，
其中正確命題的序號是

②③④

．（將你認為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：根據雙曲線漸近線的定義，可得①不正確；根據三角形大角對大邊，結合正弦定理可得②正確；利用基本不等式求最值，可得③正確；對x的范圍進行討論，分別求函數F（x）的零點，可得④是真命題．

解答：解：對于①，y=±

3

x是雙曲線的兩條漸近線，可得

b

a

=

3

或

a

b

=

3

，所以雙曲線的離心率為2或

2 3

3

，故①錯；
對于②，在△ABC中，“A＞B”等價于“a＞b”，結合正弦定理得“a＞b”等價于“sinA＞sinB”
故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件，得②正確；
對于③，由基本不等式，得2（a²+b²）≥（a+b）²=16，所以a²+b²的最小值為8，
結合a、b都是正數，可得

1

a2+b2

的最大值是

1

8

，故③正確；
對于④，因為x＞0，所以xf（x）-1=0即f（x）=

1

x

，
當x≥1時，2-x=

1

x

，解得x=1；當0＜x＜1時，-x=

1

x

，無實數根
因此函數F（x）=xf（x）-1只有一個零點x=1，得④是真命題．
故答案為：②③④

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了雙曲線的幾何性質、正弦定理的應用和利用基本不等式求最值等知識，屬于基礎題．