Question

【題目】已知橢圓（為常數且）與直線有且只有一個公共點，．

（Ⅰ）當點的坐標為時，求直線的方程；

（Ⅱ）過橢圓的兩焦點，作直線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的最大值（用表示）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或；

【解析】

（Ⅰ）首先根據點在橢圓上求出的值，然后聯立橢圓與直線的方程，利用和點在直線上求得，的值即可求解；

（Ⅱ）聯立橢圓與直線的方程，然后利用判別式求得的取值范圍，再利用點到直線的距離公式求得原點到直線的距離，利用三角函數求得，從而得到四邊形的面積的表達式，然后通過構造函數，利用函數的單調性即可求得最大值．

（Ⅰ）已知點在橢圓上，所以得出．

由橢圓的方程與直線聯立，

可得，

因為此方程有且只有一解為，

所以，

又，解得，，

從而得直線的方程為．

（Ⅱ）由橢圓與直線聯立，

可得，

由可得，

由，可知，，

原點到直線的距離，

，

因為線段在直線上的投影，

所以四邊形的面積，

把代入可得．

令，

由對勾函數的單調性可知，函數在上遞減，在上遞增，

（ⅰ）當時，函數在上遞減，在上遞增，所以當，四邊形的面積取得最大值為；

（ⅱ）當時，函數在上遞減，所以當，四邊形的面積取得最大值為．