Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0），離心率e= ，已知點P（0， ）到橢圓C的右焦點F的距離是 ．設經過點P且斜率存在的直線與橢圓C相交于A、B兩點，線段AB的中垂線與x軸相交于一點Q． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）求點Q的橫坐標x0的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得：e= = ， = ，又a2+b2=c2 ． 聯立解得：c2=12，a=4，b=2．
∴橢圓C的標準方程為： =1．
（Ⅱ）設直線AB的方程為：y=kx+ ，（k≠0），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線段AB的中點M（x3 ， y3），線段AB的中垂線方程為：y﹣y3=﹣ （x﹣x3）．
聯立 ，化為：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，
△＞0，∴x1+x2=﹣ ，
∴x3= =﹣ ．
y3=kx3+ = ．
∴線段AB的中垂線方程為：y﹣ =﹣ （x+ ）．
令y=0，可得x0= = ，
k＞0時，0＞x0≥ ．
k＜0時，0＜x0≤ ．
k=0時，x0=0也滿足條件．
綜上可得：點Q的橫坐標x0的取值范圍是
【解析】（Ⅰ）由題意可得：e= = ， = ，又a2+b2=c2 ． 聯立解出即可得出．（Ⅱ）設直線AB的方程為：y=kx+ ，（k≠0），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線段AB的中點M（x3 ， y3），直線AB的方程與題意方程聯立化為：（1+4k2）x2+12kx﹣7=0，利用中點坐標公式與根與系數的關系可得可得中點M的坐標，可得線段AB的中垂線方程，令y=0，可得x0 ， 通過對k分類討論，利用基本不等式的性質即可得出．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．