Question

【題目】已知函數在區間上有最大值和最小值.

（1）求的值；

（2）設，

證明：對任意實數，函數的圖象與直線最多只有一個交點；

（3）設，是否存在實數m和nm＜n，使的定義域和值域分別為，如果存在，求出m和n的值．若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由題意得到函數在區間上單調遞增，結合題意可求得．（2）由得，構造函數，可證明函數單調遞增，故得結論成立．（3）分析條件可得函數在上單調遞增，于是可得到，于是得為方程的兩個不等實根，解方程可得．

（1）由題意得，

∴函數圖象的對稱軸為，

∴函數在區間上單調遞增，

由題得，

解得．

（2）證明：由（1）知，

∴，

令，

∴，

令．

設，則

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∴函數為上的增函數，

∴對任意實數，函數的圖象與直線最多只有一個交點．

（3）由題意知，對稱軸為，

∴．

假設存在實數，使得當時，的值域為，則，

∴，

∴函數在上單調遞增，

∴，

則為方程的兩個不等實根，

由得，

解得，．經檢驗得滿足條件．

故存在，使得的定義域和值域分別為．