Question

當正三角形的邊長為n（n∈N^*）時，圖（1）中點的個數為f₃（n）=1+2+3+…+（n+1）=

1

2

（n+1）（n+2）；當正方形的邊長為n時，圖（2）中點的個數為f₄（n）=（n+1）²；在計算圖（3）中邊長為n的正五邊形中點的個數f₅（n）時，觀察圖（4）可得f₅（n）=f₄（n）+f₃（n-1）=（n+1）²+

n(n+1)

2

=

1

2

（n+1）（3n+2）；…．則邊長為n的正k邊形（k≥3，k∈N）中點的個數f_k（n）=

 

．

Answer 1

分析：先觀察對邊長為n的正五邊形的“分割”，那么對邊長為n的正六邊形分割時就又多了一個點數為f₃（n-1）的三角形，
依此類推可以推知邊長為n的正k（k≥5，k∈N）邊形就可以分割為一個點數為f₄（n）的四邊形和k-4個點數為f₃（n-1）的三角形，結合數列的遞推關系即可得出答案．

解答：解：觀察對邊長為n的正五邊形的“分割”，那么對邊長為n的正六邊形分割時就又多了一個點數為f₃（n-1）的三角形，
依此類推可以推知邊長為n的正k（k≥5，k∈N）邊形就可以分割為一個點數為f₄（n）的四邊形和k-4個點數為f₃（n-1）的三角形，
即f_k（n）=f₄（n）+（k-4）f₃（n-1），并且這個規律對k=3，4也成立，
這樣f_k（n）=f₄（n）+（k-4）f₃（n-1）
=（n+1）²+（k-4）

n(n+1)

2

=

1

2

（n+1）[（k-2）n+2]（k≥3，k∈N）．
故答案為：

1

2

（n+1）[（k-2）n+2]．

點評：本題考查數列的遞推關系、類比思想及割補思想的運用，考查類用所學知識分析問題、解決問題的能力．