Question

【題目】設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數（重根按一個計）．
（1）求方程x2+bx+c=0有實根的概率；
（2）求ξ的分布列和數學期望；
（3）求在先后兩次出現的點數中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，本題是一個等可能事件的概率，

試驗發生包含的基本事件總數為6×6=36，

滿足條件的事件是使方程有實根，則△=b2﹣4c≥0，即 ．

下面針對于c的取值進行討論

當c=1時，b=2，3，4，5，6；

當c=2時，b=3，4，5，6；

當c=3時，b=4，5，6；

當c=4時，b=4，5，6；

當c=5時，b=5，6；

當c=6時，b=5，6，

目標事件個數為5+4+3+3+2+2=19，

因此方程x2+bx+c=0有實根的概率為 ．

（2）解：由題意知用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數得到ξ=0，1，2

根據第一問做出的結果得到

則 ， ， ，

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P

∴ξ的數學期望 ．

（3）解：在先后兩次出現的點數中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實根，

這是一個條件概率，

記“先后兩次出現的點數中有5”為事件M，

“方程ax2+bx+c=0有實根”為事件N，

則 ， ，

∴ ．

【解析】（1）由題意知，本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的基本事件總數為6×6，滿足條件的事件是使方程有實根，則△=b2﹣4c≥0，對于c的取值進行列舉，得到事件數，根據概率公式得到結果．（2）由題意知用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數得到ξ的可能取值0，1，2根據第一問做出的結果寫出變量對應的概率，寫出分布列和期望．（3）在先后兩次出現的點數中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實根，這是一個條件概率，做出先后兩次出現的點數中有5的概率和先后兩次出現的點數中有5的條件下且方程x2+bx+c=0有實根的概率，根據條件概率的公式得到結果．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．