Question

已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a、b滿足關系|ka＋b|＝|a－kb|，(k為正實數)

(1)求證：(a＋b)⊥(a－b)；

(2)求將a與b的數量積表示為關于k的函數f(k)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，則(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0， 　　∴(a＋b)⊥(a－b)． 　　(2)解：∵|ka＋b|＝|a－kB|， 　　∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2， 　　即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2＋3k2b2－6ka·b． 　　又a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1． 　　故k2＋2ka·b＋1＝3－6ka·b＋3k2， 　　由此得a·b＝，故f(k)＝(k＞0)．