Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，1]
• B、（-∞，-1]
• C、[1，+∞）
• D、[-1，+∞）

Answer 1

分析：先由函數(shù)求導(dǎo)，再由“函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)調(diào)遞增”轉(zhuǎn)化為“f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)恒成立”即

1

x

-

1

ax2

≥0在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)恒成立，再令t=

1

x

∈（0，1]轉(zhuǎn)化為：-

1

a

t2+t≥0在區(qū)間（0，1]內(nèi)恒成立，用二次函數(shù)法求其最值研究結(jié)果．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零
∴f′（x）=

1

x

-

1

ax2

∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)恒成立，
∴

1

x

-

1

ax2

≥0在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)恒成立，
令t=

1

x

∈（0，1]
∴-

1

a

t2+t≥0在區(qū)間（0，1]內(nèi)恒成立，
∴-

1

a

+1≥0
∴a≥1
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，然后轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．