Question

【題目】設函數f（x）=x﹣alnx+ ．
（Ⅰ）若a＞1，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a＞3，函數g（x）=a2x2+3，若存在x1 ， x2∈[ ，2]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞），
f′（x）= ，
令f′（x）=0，得x1=1，x2=a﹣1，（a＞1），
①當a﹣1＜1，即1＜a＜2時，函數f（x）在（0，a﹣1），（1，+∞）上單調遞增，在（a﹣1，1）上單調遞減；
②當a﹣1=1，即a=2時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③當a﹣1＞1，即a＞2時，函數f（x）在（0，1），（a﹣1，+∞）上單調遞增，在（1，a﹣1）上單調遞減；
（Ⅱ）當a＞3，即a﹣1＞2時，函數f（x）在[ ，1）上為增函數，在（1，2]上為減函數，
所以函數f（x）在x∈[ ，2]上的最大值為f（1）=2﹣a＜0，
因為函數g（x）在[ ，2]上單調遞增，
所以g（x）的最小值為g（ ）= +3＞0，
所以g（x）＞f（x）在x∈[ ，2]上恒成立，
要存在x1 ， x2∈[ ，2]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，
只需要g（ ）﹣f（1）＜9，
即 +3+a﹣2＜9，解得：﹣8＜a＜4，
又a＞3，所以a的取值范圍是（3，4）
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，確定導函數的符號，從而求出函數的單調區間；（Ⅱ）分別求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，問題轉化為g（ ）﹣f（1）＜9，求出a的范圍即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．