Question

已知點B（0，1），A，C為橢圓C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）上的兩點，△ABC是以B為直角頂點的直角三角形．
（1）△ABC能否為等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個？
（2）當a=2時，求線段AC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出AB的方程為y=kx+1（不妨設k＞0），BC的方程為y=-

1

k

x+1，利用直線與方程與橢圓方程聯(lián)立，利用等腰直角三角形ABC中的兩腰|AB|=|BC|，借助基本不等式即可求得a的取值范圍；
（2）由a=2，可得橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．直線AC與x軸垂直時不符合題意．①直線AC的斜率為0時，線段AC的垂直平分線為y軸，即可得出線段AC的垂直平分線在x軸上的截距．
②設直線AC的方程為my=x+t．（m≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關系，利用中點坐標公式可得線段AC的中點M的坐標，再利用相互垂直的直線斜率之間的關系可得線段AC的方程，進而求得線段BC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍．

解答：解：（1）不妨設l_AB：y=kx+1（k＞0），l_BC：y=-

1

k

x+1．
由

y=kx+1 x2 a2 +y2=1

，得（1+a²k²）x²+2ka²x=0，…①
∴|AB|=

1+k2

|xA-xB|=

1+k2

•

2ka2

1+a2k2

．
同理可得：|BC|=

1+ 1 k2

•

2a2 k

1+ a2 k2

=

1+k2

•

2a2

k2+a2

．
由|AB|=|BC|得，k³-a²k²+a²k-1=0，
即（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0，解得k=1或k²+（1-a²）k+1=0．
對于k²+（1-a²）k+1=0，
由（1-a²）²-4=0，得a=

3

，此時方程的根k=1；
當1＜a＜

3

時，方程k²+（1-a²）k+1=0無實根；
當a＞

3

時，方程k²+（1-a²）k+1=0有兩個不等實數(shù)根．
∴當a＞

3

時，這樣的三角形有3個；當1＜a≤

3

時這樣的三角形有1個；
（2）由a=2，可得橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
直線AC與x軸垂直時不符合題意．
①直線AC的斜率為0時，線段AC的垂直平分線為y軸，此時線段AC的垂直平分線在x軸上的截距為0．
②設直線AC的方程為my=x+t．（m≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯(lián)立

my=x+t x2+4y2=4

，化為（4+m²）y²-2mty+t²-4=0．
∵直線AC與橢圓有兩個交點，∴△=4m²t²-4（4+m²）（t²-4）＞0，化為4+m²＞t²．（*）
∴y1+y2=

2mt

4+m2

，y1y2=

t2-4

4+m2

．（**）
設線段AC的中點M（x₀，y₀），則y0=

y1+y2

2

=

mt

4+m2

，x₀=my₀-t=

-4t

4+m2

．
∴M(

-4t

4+m2

，

mt

4+m2

)．
∵AB⊥BC，
∴

BA

•

BC

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=（my₁-t）（my₂-t）+（y₁-1）（y₂-1）=（m²+1）y₁y₂-（mt+1）（y₁+y₂）+t²+1=0．
把（**）代入上式可得：

(m2+1)(t2-4)

4+m2

-

2mt(mt+1)

4+m2

+t²+1=0，
化為 5t²-2mt-3m²=0，即（5t+3m）（t-m）=0．
解得t=m或t=-

3m

5

．
當t=m時，直線AC化為m（y-1）=x過點（0，1），舍去．
當t=-

3m

5

時，滿足（*）．
又線段AC的垂直平分線為：y-

mt

4+m2

=-m(x+

4t

4+m2

)．
令y=0，得x=

-3t

4+m2

，
把t=-

3m

5

代入上式可得x=

9m

5(4+m2)

=

9 5

4 m +m

，
當m＞0時，0＜x≤

9

20

．
當m＜0時，-

9

20

≤m＜0．
綜上可知：線段AC的中垂線l在x軸上截距的取值范圍是[-

9

20

，

9

20

]．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、弦長公式、分類討論、判別式與一元二次方程的實數(shù)根的關系、線段的垂直平分線等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力、計算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．