Question

已知奇函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定義域為R，其圖象C關于直線x=對稱，又f（x）在區間[0，]上是單調函數．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）將圖象C向右平移個單位后，得到函數y=g（x）的圖象．
①化簡，并求值：+4f（10°）；
②若關于x的方程f（x）=g（x）+m在區間[0，]上有唯一實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=cos（ωx+φ）是R上的奇函數，得f（0）=cosφ=0．
又-π≤φ≤0，所以φ=-．…（1分）
所以f（x）=cos（ωx-）=sinωx．…（2分）
由y=f（x）的圖象關于直線x=對稱，且ω＞0，得
ω•=kπ+（k∈N），解得ω=4k+2（k∈N）．①…（3分）
又f（x）在區間上是單調函數，所以0≤ω•x≤ω•≤，
解得ω≤3．②…（4分）
由①②，得ω=2．所以f（x）=sin2x．…（5分）
（2）g（x）=f（x-）=sin（2x-）=-cos2x．…（6分）
①原式=
=
= …（7分）
=
= …（8分）
= …（9分）
=
=．…（10分）
②m=f（x）-g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）．…（11分）
易知函數y=sin（2x+）在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．…（12分）
又當x=0時，f（x）-g（x）=1；
當x=時，f（x）-g（x）=；
當x=時，f（x）-g（x）=．…（13分）
故所求實數m的取值范圍是m=或1≤m＜．…（14分）
分析：（1）利用函數是奇函數，結合φ的范圍，求出φ，利用函數的對稱軸，求出ω，即可求函數f（x）的表達式；
（2）將圖象C向右平移個單位后，得到函數y=g（x）的圖象即可得到表達式，
①推出+4f（10°），利用二倍角公式，化簡整理可求結果；
②通過方程f（x）=g（x）+m，表示出m，通過函數的單調性，以及在區間[0，]上有唯一實根，求出實數m的取值范圍．
點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，三角函數的化簡求值，函數的單調性，對稱性的應用，考查計算能力，轉化思想．