Question

設函數，其中向量，，x∈R
（1）求使f（x）取得最大值時，向量的夾角；
（2）若A={x|f（x）≥1}，B={x|-π≤x≤π}，求A∩B；
（3）若x∈{A，B，C}，且A，B，C是某個銳角三角形的三個內角，求證；存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1．

Answer 1

解：∵
∴f（x）==
（1）當
即，即時，f（x）取得最大值
此時
∴=
∴
（2）由f（x）≥1，得
∴
∴
∴
又B={x|-π≤x≤π}
∴A∩B=
證明：（3）∵x∈{A，B，C}，且A，B，C是某個銳角三角形的三個內角，且A+B+C=π
設A、B、C中的最小角x₀∈{A，B，C}
∴
∴
∴
∴存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1
分析：（1）先表示函數f（x）的解析式并化簡，找到f（x）取最大值時x的值，進而確定兩個向量的坐標，再求夾角即可
（2）先求集合A，再給k賦值，與B取交集即可
（3）先假設存在這樣的角x₀，然后再求出x₀的范圍，把問題轉化為求函數的最大值問題，即可得證
點評：本題考查和角公式的應用、正弦型函數的性質和向量的數量積，注意和角公式和夾角公式的應用．屬簡單題