Question

（本小題滿分10分）
四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
邊長為，PD=，PD⊥平面ABCD
（1）求證: AC⊥PB ；
（2）求二面角A－PB－D的大小；
（3）求四棱錐外接球的半徑．
（4）在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑；

Answer 1

(1)證明
(2) A－PB－D的大小為60
(3)        
(4)球的最大半徑為 

(1)證明：連結BD，∵ABCD是正方形∴BD⊥AC ∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥AC
∵PD∩BD="D  " ∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB ∴AC⊥PB      ……………(4分)
(2)解：設AC∩BD=0，過A作AE⊥PB于E，連接OE∵AO⊥平面PBD ∴OE⊥PB
∴∠AEO為二面角 A－PB－D的平面角∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中，，在Rt△PAB中，
∵∴，
在Rt△AOE中，，∴∠AEO=60°
∴二面角A－PB－D的大小為60. ……………(8分)
(3)解：解：設PB的中點為F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD
在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC
∴FP="FB=FA=FC=FD   " ∴F為四棱錐外接球的球心
則FP為外接球的半徑   ∵FP=   ∴
∴四棱錐外接球的半徑為                  ……………(12分)
(4) 設此球半徑為R，最大的球應與四棱錐各個面都相切，設球心為S，連SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為R


∵

∴  ∴
∴球的最大半徑為