Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P₁，P₂分別是線段AB，BD₁（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段P₁P₂平行于平面A₁ADD₁，則四面體P₁P₂AB₁的體積的最大值是（　　）

• A．

  1

  24

• B．

  1

  12

• C．

  1

  6

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由題意可得△P₁P₂B∽△AD₁B，設(shè)出P₁B=x，則P₁P₂=

2

x，P₂到平面AA₁B₁B的距離為x，求出四面體的體積，通過二次函數(shù)的最值，求出四面體的體積的最大值．

解答：解：由題意在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P₁，P₂分別是線段AB，BD₁（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段P₁P₂平行于平面A₁ADD₁，△P₁P₂B∽△AD₁B，
設(shè)P₁B=x，x∈（0，1），則P₁P₂=

2

x，P₂到平面AA₁B₁B的距離為x，
所以四面體P₁P₂AB₁的體積為V=

1

3

×

1

2

×(1-x)×1×x=

1

6

(x-x2)，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，體積取得最大值：

1

24

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方形中，幾何體的體積的求法，找出所求四面體的底面面積和高是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．