Question

記[x]為不超過實數x的最大整數，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．設a為正整數，數列{x_n}滿足x₁=a，，現有下列命題：
①當a=5時，數列{x_n}的前3項依次為5，3，2；
②對數列{x_n}都存在正整數k，當n≥k時總有x_n=x_k；
③當n≥1時，；
④對某個正整數k，若x_k+1≥x_k，則．
其中的真命題有    ．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

【答案】分析：按照給出的定義對四個命題結合數列的知識逐一進行判斷真假，①列舉即可；②需舉反例；③可用數學歸納法加以證明；④可由歸納推理判斷其正誤
解答：解：①當a=5時，x₁=5，
，
，
∴①正確．
②當a=8時，x₁=8，




∴此數列從第三項開始為3，2，3，2，3，2…為擺動數列，故②錯誤；
③當n=1時，x₁=a，∵a-（）=＞0，∴x₁=a＞成立，
假設n=k時，，
則n=k+1時，，
∵≥≥，
∴＞
∴對任意正整數n，當n≥1時，；③正確；
④∵≥x_k，
由數列①②規律可知一定成立
故正確答案為①③④
點評：本題主要考查了數列遞推公式的應用，歸納推理和演繹推理的方法，直接證明和間接證明方法，數學歸納法的應用，難度較大，需有較強的推理和思維能力