Question

（2009•黃岡模擬）如圖，已知曲線c1：

x2

a2

+

y2

b 2

=1(b＞a＞0，y≥0)與拋物線c₂：x²=2py（p＞0）的交點分別為A、B，曲線c₁和拋物線c₂在點A處的切線分別為l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分別為k₁、k₂．
（Ⅰ）當

b

a

為定值時，求證k₁•k₂為定值（與p無關），并求出這個定值；
（Ⅱ）若直線l₂與y軸的交點為D（0，-2），當a²+b²取得最小值9時，求曲線c₁和c₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數分別求l₁、l₂的斜率分別為k₁、k₂．進而可求k₁•k₂，利用點A在曲線c₁和拋物線c₂上，結合

b

a

為定值時可得結論．
（Ⅱ）設A點的坐標為(x0，

x 2 0

2p

)，利用l₂過點D（0，-2），則x₀²=4p，從而可求點A(-2

p

，2)的坐標代入曲線c₁的方程得

4p

a2

+

4

b2

=1．從而利用基本不等式可求a²+b²最小值，注意等號成立的條件．

解答：解：（Ⅰ）設點A的坐標為（x₀，y₀），
由

x2

a2

+

y2

b 2

=1(b＞a＞0，y≥0)得：y=

b

a

a2-x2

則y′=-

bx

a a2-x2

，∴k1=y′|_x=x0…2′
由x²=2py（p＞0）得y=

1

2p

x2，∴k2=y′|_x=x0…4′
∴k1•k2=-

b x 2 0

pa a2- x 2 0

又∵x₀²=2py₀，

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，∴

x 2 0

a2- x 2 0

=

2pb

a

．
∴k1•k2=-

b x 2 0

pa a2- x 2 0

=-

2b2

a2

為定值．…6′
（Ⅱ）如圖設A點的坐標為(x0，

x 2 0

2p

)，則x₀∈（-a，0）．
由（Ⅰ）知：k2=

x0

p

，則直線l2：y=

x0

p

(x-x0)+

x 2 0

2p

．
∵l₂過點D（0，-2），則x₀²=4p，即x0=-2

p

，∴點A(-2

p

，2)．…8′
將A(-2

p

，2)代入曲線c₁的方程得

4p

a2

+

4

b2

=1．
∴a2+b2=(a2+b2)•(

4p

a2

+

4

b2

)=4p+4+

4a2

b2

+

4pb2

a2

．
由重要不等式得a2+b2≥4p+8

p

+4．…10′
當且僅當“=”成立時，有

4p+8 p +4=9 4pb2 a2 = 4a2 b2 4p a2 + 4 b2 =1

，解得

p= 1 4 a2=3 b2=6

∴c1：

x2

3

+

y2

6

=1(y≥0)，c₂：y=2x²．…13′

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓與拋物線的位置關系，考查利用基本不等式求最值．