Question

已知函數f(x)=x3-

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2

x2+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得f（x）在x=1處取得極值所以f′（1）=3-1+b=0所以b=-2．
（2）把原不等式等價轉化為：x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立，設g（x）=x3-

1

2

x2-2x則g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），利用導數求函數的最大值即g（x）的最大值為g（2）=2，則有c²-c＞2，解得：c＞2或c＜-1．

解答：解：（1）由題意得f′（x）=3x²-x+b
∵f（x）在x=1處取得極值
∴f′（1）=3-1+b=0
∴b=-2
所以b的值是-2．
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2
∵當x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立
∴x3-

1

2

x2-2x+c＜c2在[-1，2]上恒成立，
即x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
設g（x）=x3-

1

2

x2-2x則g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
當x∈（-1，-

2

3

）時，g′（x）＞0
當x∈（-

2

3

，1）時，g′（x）＜0
當x∈（1，2）時，g′（x）＞0
所以，當x=-

2

3

時，g（x）取得極大值為g（-

2

3

）=

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27

又因為g（2）=2
所以在[-1，2]上g（x）的最大值為g（2）=2
則有c²-c＞2，解得：c＞2或c＜-1
故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評：解決此類問題的關鍵是將不等式在某個區間上恒成立問題轉化為函數在該區間上的最值問題，分離參數是解決此類問題較好的一種方法．