Question

如圖，正三角形ABC的邊長為2，D、E、F分別為各邊的中點將△ABC沿DE、EF、DF折疊，使A、B、C三點重合，構成三棱錐A— DEF  ．

(I)求平面ADE與底面DEF所成二面角的余弦值

(Ⅱ)設點M、N分別在AD、EF上， (λ＞O，λ為變量)

①當λ為何值時，MN為異面直線AD與EF的公垂線段? 請證明你的結論②設異面直線MN與AE所成的角為a，異面直線MN與DF所成的角為β，試求a+β 的值

 

Answer 1

【答案】

(I) ；

 (Ⅱ) ①λ=1時，MN為異面直線AD與EF公垂線段

②

【解析】（Ⅰ）如圖，取DE的中點G，連接AG、FG 

由題意AD=AE，△DEF為正三角形，得AG⊥DE，

∴∠AGF為平面ADE與底面DEF所成二面角的平面角 

由題意得AG=FG=．在△AGF中，

∴平面ADF與底面DEF所成二面角的余弦值為

（Ⅱ）（1）λ=1時，MN為異面直線AD與EF公垂線段    

當λ=1，M為AD的中點，N為FF的中點，連結AN、DN，

則由題意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可證MN⊥EF 

∴λ=1時，MN為異面直線AD與EF公垂線段．

（2）過點M作MH∥DF，交AF于點H，則∠HMN為異面直線 MN與DF所成的角 ．

由MH∥DF，得  ，∴     

∴HN//AE，∠MNH為異面直線 MN與AE所成的角 ．

∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN  

由題意得，三棱錘A—DEF是正棱錘，則點A在底面DEF上的射影為底面△DEF的中心，記為O．

∵ AE在底面DEF上的射影EO⊥DF，  ∴AE⊥DF

又∵HN//AE，MH//DF，∴∠MNH= ，∴