Question

已知函數的定義域為（0，+∞），且單調遞增，滿足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）證明：f（1）=0；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=y=1即證f（1）=0；
（Ⅱ）依題意，可求f（x（x-3））＜f（4），利用函數的定義域為（0，+∞），且單調遞增，即可求得x的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（Ⅱ）∵f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（x-3）≤1=f（4）?f（x（x-3））≤f（4），
∵函數的定義域為（0，+∞），且單調遞增，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

，解得3＜x≤4，
∴x的取值范圍為（3，4]．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法即函數單調性的性質，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．