Question

（理）在平面直角坐標系xoy中，若在曲線C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ為正實數）代替（x，y）得到曲線C₂的方程F（λx，λy）=0，則稱曲線C₁、C₂關于原點“伸縮”，變換（x，y）→（λx，λy）稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比．
（1）已知曲線C₁的方程為，伸縮比λ=2，求C₁關于原點“伸縮變換”后所得曲線C₂的方程；
（2）射線l的方程，如果橢圓C₁：經“伸縮變換”后得到橢圓C₂，若射線l與橢圓C₁、C₂分別交于兩點A、B，且，求橢圓C₂的方程；
（3）對拋物線C₁：y²=2p₁x，作變換（x，y）→（λ₁x，λ₁y），得拋物線C₂：y²=2p₂x；對C₂作變換（x，y）→（λ₂x，λ₂y）得拋物線C₃：y²=2p₃x，如此進行下去，對拋物線C_n：y²=2p_nx作變換（x，y）→（λ_nx，λ_ny），得拋物線C_n+1：y²=2p_n+1x，…．若，求數列{p_n}的通項公式p_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“伸縮變換”的伸縮比得，從而即得曲線C₂的方程；
（2）根據C₂、C₁關于原點“伸縮變換”，對C₁作變換（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C₂分別解方程組得點A，B兩點的坐標，最后利用兩點的距離公式得到關于λ的方程求出λ的值，即可寫出橢圓C₂的方程；
（3）先對C_n：y²=2p_nx作變換（x，y）→（λ_nx，λ_ny）得拋物線C_n+1：（λ_ny）²=2p_nλ_nx，結合y²=2p_n+1x得到：，從而求得數列{p_n}的通項公式p_n．
解答：解（1）由條件得，得C₂：；（4分）
（2）∵C₂、C₁關于原點“伸縮變換”，對C₁作變換（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C₂，（5分）
解方程組得點A的坐標為；（7分）
解方程組得點B的坐標為；（8分）
==，化簡后得3λ²-8λ+4=0，解得，因此橢圓C₂的方程為或．（12分）（漏寫一個方程扣2分）
（3）（理）對C_n：y²=2p_nx作變換（x，y）→（λ_nx，λ_ny）得拋物線C_n+1：（λ_ny）²=2p_nλ_nx，得，
又∵y²=2p_n+1x，∴，即，（14分）
=2•2²•2³•…•2^n-1，則，（16分）
（或解：）p₁=1，
∴．（18分）
點評：本小題主要考查圓錐曲線的標準方程、圓錐曲線簡單性質、數列與解析幾何的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．