Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

．
（1）若圓（x-2）²+（y-1）²=

20

3

與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓的方程；
（2）設L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為60°．求

|MF|

|NF|

的值．
（3）在（1）的條件下，橢圓W的左右焦點分別為F₁、F₂，點R在直線l：x-

3

y+8=0上．當∠F₁RF₂取最大值時，求

|RF1|

|RF2|

的值．

Answer 1

分析：（1）設出AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及線段AB恰為圓的直徑，可求橢圓的方程；
（2）設|MF|=m，|NF|=n，則由第二定義知|

n

e

-

m

e

|=

1

2

•(m+n)，由此可求

|MF|

|NF|

的值；
（3）當∠F₁RF₂取最大值時，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切，利用△F₁SR∽△RSF₂，即可求

|RF1|

|RF2|

的值．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k①
∵離心率e=

2

2

，∴橢圓方程可化為

x2

2b2

+

y2

b2

=1②
將①代入②得（1+2k²）x²+4（1-2k）•kx+2（1-2k）²-2b²=0
∵x₁+x₂=

4(2k-1)k

1+2k2

=4，∴k=-1
∴x₁x₂=

18-2b2

1+2

=6-

2

3

b2
又|AB|=2•

20 3

，∴

1+1

|x1-x2|=2

20 3

即(x1-x2)2=

40

3

，∴b²=8
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1
（2）設|MF|=m，|NF|=n，則由第二定義知|

n

e

-

m

e

|=

1

2

•(m+n)
即

m

n

=

2 2 -1

2 2 +1

=

9-4 2

7

或

m

n

=

9+4 2

7

∴

|MF|

|NF|

=

9+4 2

7

或

|MF|

|NF|

=

9-4 2

7

．
（3）當∠F₁RF₂取最大值時，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切．
直線l與x軸于S（-8，0），
∵△F₁SR∽△RSF₂，
∴

|RF1|

|RF2|

=

|SF1|

|SR|

=

|SR|

|SF2|

=

|SF1| |SR| |SR| |SF2|

=

|SF1| |SF2|

=

2 14 - 7

7

．

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查橢圓的第二定義，考查三角形的相似，正確運用橢圓的性質及第二定義是關鍵．