Question

規定maxf（x），g（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，若定義在R上的奇函數F（x）滿足：當x＞0時，F（x）=max1-log₂x，1+log₂x．
（1）求F（x）的解析式，并寫出F（x）的單調區間；
（2）若方程F（x）=m有唯一實數解，求實數m的值；
（3）求t＞0時，函數y=F（x）在x∈[t，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據題中定義的函數和奇函數的定義求出函數的解析式，由解析式和對數函數的圖象畫出函數的簡圖，根據圖象求出函數的單調區間；
（2）由（1）的函數解析式和圖象，方程有一個根時即對應圖象由一個交點時，求出m的值；
（3）由函數解析式求出F(

1

2

)=F(2)，根據t的取值分三種情況，根據函數的單調性求出對應的函數的值域．

解答：解：（1）根據題意和奇函數的定義得，F(x)=

-1-log2(-x)?x∈(-∞，-1) -1+log2(-x)?x∈[-1，0) ??0????x=0 1-log2x???x∈(0，1] 1+log2x???x∈(1，+∞)

，
由函數解析式和對數函數的圖象作出此函數圖象如右圖：
由圖得，F（x）增區間為（1，+∞），（-∞，-1），
減區間為（0，1），（-1，0），
（2）由函數的解析式和圖象得，方程F（x）=m有唯一實數解時，有m=-1，0，1，
（3）由函數解析式求得，F(

1

2

)=F(2)，故分三種情況求值域：
當0＜t＜

1

2

時，則函數在此區間上是減函數，故y=F（x）值域為[1，1-log₂t]，
當

1

2

≤t≤1時，則函數在此區間上是減函數，故y=F（x）值域為[1，2]
當1＜t≤2時，則函數在此區間上是增函數，故y=F（x）值域為[1+log₂t，2]．

點評：本題是有關新定義和函數的綜合題，主要根據定義和奇函數的定義求出解析式，再由對數函數的圖象作出函數圖象，根據圖象求解，對于求函數的值域關鍵求出分界點，再分類并且根據單調性求出值域，考查了數形結合思想和分類討論思想．