Question

已知離心率為的橢圓+=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）、B（0，1）的直線有且只有一個公共點P，點F是橢圓的右焦點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點M（m，0），使過M且與橢圓交于R、S兩點的任意直線l，均滿足∠RFP=∠SFP？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵e=，∴a=2c，b=，
設橢圓的方程為，
直線AB的方程為y=-，
由得x²-x+1-3c²=0，
由題意知△=1-4（1-3c²）=0，
∴c=，橢圓的方程為．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的點M，易知直線l的斜率不存在時，不合題意，
故設其斜率為k，則l的方程是y=k（x-m），
由，得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-3=0，
設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），則，
∵，∴PF⊥x軸，
∵∠RFP=∠SFP，∴k_RF+k_SP=0，
∴=
=
=0，
∴m=2．
∴m=2時，存在滿足條件的點M（2，0）．
分析：解（Ⅰ）由e=，知a=2c，b=，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設l的方程是y=k（x-m），由，得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-3=0，設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），則，由PF⊥x軸，∠RFP=∠SFP，知k_RF+k_SP=0，由此能導出m=2時，存在滿足條件的點M（2，0）．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．