Question

已知函數f(x)=2sin2ωx+2

3

sinωxsin(

π

2

-ωx)（ω＞0）的最小正周期為π．
（I）求ω的值；
（II）求函數f(x)在區間[0，

2π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據倍角公式和兩角和公式，對函數進行化簡，再利用T=

2π

2ω

，進而求得ω
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函數f（x）的解析式，再根據正弦函數的單調性進而求得函數f（x）的范圍．

解答：解：（I）f（x）=1-cos2ωx+2

3

sinωxcosωx
=1-cos2ωx+

3

sin2ωx （2分）
=

3

sin2ωx-cos2ωx+1=2sin（2ωx-

π

6

）+1 （5分）
因為函數f（x）的最小正周期為π，且ω＞0
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+1，
∵0≤x≤

2π

3

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．
∴0≤2sin（2ωx-

π

6

）+1≤3，
即f（x）的取值范圍為[0，3]．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數式恒等變形，三角函數的值域．公式的記憶，范圍的確定，符號的確定是容易出錯的地方．