Question

【題目】對于函數，若存在定義域內某個區間，使得在上的值域也是，則稱函數在定義域上封閉.如果函數在上封閉，那么實數的取值范圍是______.

Answer 1

【答案】

【解析】

先用定義證明函數在上遞增,再根據奇偶性可得函數在上為增函數,然后討論和可得的單調性,當時,依題意可得是的兩個不同的實數解,由此可解得.當時,依題意可得,由此可推出.

.設,則,

因為,所以,

所以函數在上遞增,

又函數為奇函數,所以函數在上為增函數,

當時,函數為增函數, 因為在上的值域也是,所以,即,

即是的兩個不同的實數解,解得或,

由得,

當時,為遞減函數, 因為在上的值域也是,所以,即 ,

因為,所以,

所以,所以,因為,所以,即,

所以,所以,即.

綜上所述:或.

故答案為: .