Question

（2010•廣東模擬）已知函數f(x)=4x+ax2-

2

3

x3(x∈R)．
（1）若a=1，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞增，求實數a的取值組成的集合A；
（3）設關于x的方程f(x)=2x+

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3

x3的兩個非零實根為x₁，x₂，試問是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入f（x），求出f（x）的導函數，令導函數大于0求出x的范圍即為單調遞增區間，令導函數小于0得到的x的范圍即為單調遞減區間．
（2）求出導函數，令導函數大于等于0在[-1，1]上恒成立，結合二次函數的圖象寫出限制條件，求出a的范圍．
（3）列出方程，轉化為二次方程的根，根據根與系數的關系得到|x₁-x₂|_max，然后利用二次函數的圖象列出要使不等式恒成立的限制條件，求出m的范圍．

解答：解：（1）f(x)=4x+x2-

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3

x3，
f'（x）=4+2x-2x²=-2（x²-x-2）=-2（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0⇒-1＜x＜2，
∴f（x）的單調增區間為（-1，2）．
由f'（x）＜0⇒x＜-1，x＞2，
∴f（x）的單調減區間為（-∞，-1），（2，+∞）．…（4分）
（2）f'（x）=4+2ax-2x²，
因f（x）在區間[-1，1]上單調遞增，
所以f'（x）≥0恒成立．…（6分）
⇒

f′(-1)≥0 f′(1)≥0

⇒-1≤a≤1．
A=[-1，1]…（9分）．
（3）f(x)=2x+

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3

x3⇒4x+ax2-

2

3

x3=2x+

1

3

x3，
2x+ax²-x³=0⇒x（x²-ax-2）=0
∴

x1+x2=a x1x2=-2

⇒|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

，
∴|x₁-x₂|_max=3，…（11分）
⇒只需m²+tm+1≥3對t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+tm-2，
即g（t）=m²+tm-2≥0，對t∈[-1，1]恒成立，…（13分）
⇒

g(-1)≥0 g(1)≥0

⇒m≤-2或m≥2
所以存在m∈（-∞，-2]∪[2，+∞）…（14分）

點評：本題考查利用導數求函數的單調區間以及函數的單調性知道求參數的范圍；考查結合二次函數的圖象解決二次不等式恒成立問題．