Question

(文)已知函數f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c圖像上的點P(1，－2)處的切線方程為y＝－3x＋1.

(1)若函數f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表達式；

(2)函數f(x)在區間[－2,0]上單調遞增，求實數b的取值范圍.

Answer 1

 (文)f′(x)＝－3x²＋2ax＋b，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

因為函數f(x)在x＝1處的切線斜率為－3，

所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分                

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1. 　　　　　　　　　　　　　　2分

(1)函數f(x)在x＝－2時有極值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0　　　　　　　3分

解得a＝－2，b＝4，c＝－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

所以f(x)＝－x³－2x²＋4x－3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)因為函數f(x)在區間[－2,0]上單調遞增，所以導函數f′(x)＝－3x²－bx＋b在區間[－2,0]上的值恒大于或等于零，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

則，得b≥4，　　　　　　　　　　　　　　　10分

所以實數b的取值范圍為[4＋∞).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分

解析:

(理)(1)由題設可知，f′(x)＝3x²－4ax－3a²且f′(－1)＞0，f′(1)＜0.

即3＋4a－3a²＞0，∴＜a＜　　　　　　　　　　　　　　　2分

又3－4a－3a²＜0，∴＞a或 a＞　　　　　　　　　　　　4分

 ∴＜a＜.故a＝1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)由題設可知，f(x)＝x³－2x²－3x，g(x)＝x³＋(1＋b)x²－b，∴g(x)－f(x)＝(b＋3)x²＋3x－b≥0在區間[－1,2]上恒成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

ⅰ)當b＋3＝0，即b＝－3時，g(x)－f(x)＝3(x＋1)≥0在區間[－1,2]上恒成立.　　　8分

ⅱ)當 b＋3≠0，即g(x)－f(x)＝(b ＋ 3)x²＋3x－b＝(b＋3)(x ＋ 1)(x－)≥0，在區間[－1,2]上恒成立

①當b＋3＞0，令 (b ＋ 3)(x ＋ 1)(x － )＝ 0，解得 x ＝－1； x ＝.由題設可知；x＝≤－1，即－3＜b≤－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

②當b＋3＜0，令(b ＋ 3)(x ＋ 1)(x－)＝0，解得x＝－1；x＝.由題設可知；x＝≥2，即－6≤b＜－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

綜上可知： 實數b的取值范圍是－6≤b≤－　　　　　　　　　　　　　………12分