Question

（(本小題滿分13分)
已知三個正數滿足.
(Ⅰ)若是從中任取的三個數，求能構成三角形三邊長的概率；
(Ⅱ)若是從區間內任取的三個數，求能構成三角形三邊長的概率.

Answer 1

解:(Ⅰ)記“能構成三角形三邊長”為事件A.
若能構成三角形，則.…………………1分
若時，則,有1種取法；
若時，則，或有2種取法；
若時，有3+1=4種取法
于是共有1+2+4=7種取法.即事件A包含的結果數為7.………………3分
從中任取三個數且的取法數為.
∴基本事件的所有結果數為20.……………4分
根據古典概型知：能構成三角形三邊長的概率為. ……………6分
(Ⅱ)能構成三角形的三邊長當且僅當：
…………………………8分
在平面直角坐標系內對于任意給定的，作直線，
與直線及軸正半軸圍成三角形ADO.
再作直線，則的面積是面積的（如圖）.
由幾何概型的計算方法可知，能構成三角形三邊長的概率為.  ……………13分

略