Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，點S在平面ABC上的射影恰為AC的中點，SA=2

3

，M、N分別為AB、SB的中點．
（1）證明AC丄SB；
（2）求直線CN與平面ABC所成角的余弦值；
（3）求點B到平面CMN的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證AC⊥SB，取AC中點D，連接DS、DB．根據線面垂直的性質定理可知，只須證AC⊥SD且AC⊥DB，即得；
（2）欲求直線CN與平面ABC所成角的余弦值大小，可先作出直線CN與平面ABC所成角，結合SD⊥平面ABC．過D作DE⊥CM于E，連接SE，則SE⊥CM，從而得出∠NCD為直線CN與平面ABC所成角．最后在Rt△NCD中求解即可；
（3）設點B到平面CMN的距離為h，利用等到體積法：V_B-SNM=V_S-NMB，即可求得點B到平面CMN的距離．

解答：證明：（Ⅰ）取AC中點D，連接SO．
∵SO⊥面ABC，
∴AC⊥SO，
∵△ABC是邊長為4的正三角形，
∴AC⊥BO
∴AC⊥面SOB，∴AC⊥SB．

（Ⅱ）過N作ND∥SO交OB于D，則ND⊥面ABC，且D是OB的中點，
在Rt△NCD中，ND=

1

2

SO=

2

CD=

CO 2+OD 2

=

7

∴CN=3
∴cos∠NCD=

CD

CN

=

7

3

．
直線CN與平面ABC所成角的余弦值

7

3

．
（Ⅲ）解：在Rt△SDE中，SE=

SD2+DE2

=

5

，CM是邊長為4正△ABC的中線，CM=2

3

．
∴S_△SCM=

1

2

CM•SE=

1

2

×2

3

×

5

=

15

，
設點B到平面SCM的距離為h，
由V_B-SCM=V_S-CMB，SD⊥平面ABC，得

1

3

S_△SCM•h=

1

3

S_△CMB•SD，
∴h=

S△CMB•SD

S△SCM

=

4 2

3

．即點B到平面SCM的距離為

4 2

3

．

點評：本小題主要考查直線與直線，直線與平面所成角，點到平面的距離等基礎知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力．求距離的關鍵是構造三棱錐的體積求解．