Question

曲線是平面內與定點和定直線的距離的積等于的點的軌跡.給出下列四個結論：
①曲線過坐標原點；
②曲線關于軸對稱；
③曲線與軸有個交點；
④若點在曲線上，則的最小值為.
其中，所有正確結論的序號是___________．

Answer 1

①②④

試題分析：設曲線上任意一點，則依題意可得，將原點代入驗證，方程成立，說明曲線過坐標原點，故①正確；把方程中的x不變，y被-y 代換，方程不變，說明曲線關于軸對稱，故②正確；將代入方程可得，即方程只有一個根，所以③不正確；定點和定直線可看做是拋物線的焦點和準線，設點是拋物線上的任意一點，由拋物線的定義可知點到焦點和準線的距離相等，要使的最小值畫圖分析可知點應在拋物線的內側且，當點在上時取得最小值，此時，點到直線的距離為，所以，解得，此時。故④正確。綜上可得正確的是①②④。