已知雙曲線方程2x2－y2＝2.
(1)求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；
(2)過點(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于Q1，Q2兩點，且Q1，Q2兩點的中點為(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．
（1）
;（2）直線l不存在,理由詳見解析
解析試題分析：（1）設出弦的兩端點，代入雙曲線方程，作差即可得到弦所在直線的斜率，再利用點斜式求直線方程。（2）同（1）中方法可求得弦所在直線方程，代入雙曲線，消掉y（或x）整理出關于x的一元二次方程，看判別式。若判別式大于等于0，則所求直線存在，否則不存在。
試題解析：（1）設弦的兩端點為
，因為A(2,1)為中點，所以
。因為
在雙曲線上所以
，兩式相減得
，所以
,所以
，
所以所求弦所在直線方程為
，即。
將直線方程代入雙曲線方程，整理成關于x的一元二次方程，經檢驗
（2）假設直線l存在，由（1）中方法可求得直線方程為
，聯立方程
，消去y得
，因為
，因此直線與雙曲線無交點，所以直線l不存在。
考點：點差法求直線斜率問題，
激活思維優加課堂系列答案
活力試卷系列答案
課課優能力培優100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
在拋物線
：
上.
（1）若
的三個頂點都在拋物線上，記三邊
，
，
所在直線的斜率分別為
，
，
，求
的值；
（2）若四邊形
的四個頂點都在拋物線上，記四邊，，
，
所在直線的斜率分別為，，，
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定橢圓
，稱圓心在坐標原點O，半徑為
的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是
.
（1）若橢圓C上一動點
滿足
，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點
作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為
，求P點的坐標；
（3）已知
，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點
的直線的最短距離
.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
.
(1)橢圓的短軸端點分別為
(如圖)，直線
分別與橢圓交于
兩點，其中點
滿足
，且
.
①證明直線
與
軸交點的位置與
無關；
②若∆
面積是∆
面積的5倍，求的值；
(2)若圓
:
.
是過點
的兩條互相垂直的直線,其中
交圓于
、
兩點,
交橢圓
于另一點
.求
面積取最大值時直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為
，準線為
，點
為拋物線C上的一點，且
的外接圓圓心到準線的距離為
．
（I）求拋物線C的方程；
（II）若圓F的方程為
，過點P作圓F的2條切線分別交
軸于點
，求
面積的最小值時
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別是
、
,
是橢圓右準線上的一點，線段
的垂直平分線過點.又直線
：
按向量
平移后的直線是
，直線
：
按向量
平移后的直線是
(其中
)。
（1） 求橢圓的離心率
的取值范圍。
（2）當離心率最小且
時，求橢圓的方程。
（3）若直線與相交于（2）中所求得的橢圓內的一點，且與這個橢圓交于
、
兩點，與這個橢圓交于
、
兩點。求四邊形ABCD面積
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（1）已知定點
、
，動點N滿足
（O為坐標原點），
，
，
，求點P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓
的上、下頂點分別為
，點
在橢圓上，且異于點，直線
與直線
分別交于點
，
（ⅰ）設直線的斜率分別為
、
，求證：
為定值；
（ⅱ）當點運動時，以
為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,在平面直角坐標系
中,已知橢圓
經過點
,橢圓的離心率
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點作兩直線與橢圓分別交于相異兩點
、
.若
的平分線與
軸平行, 試探究直線
的斜率是否為定值？若是, 請給予證明；若不是, 請說明理由.
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與雙曲線
交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點
的軌跡方程．