Question

（2009•金山區(qū)一模）已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a_2n-1=2n，（n∈N*），設(shè)S_n是數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和，記f（n）=S_2n-S_n，
（1）求a_n；（n∈N*）
（2）比較f（n+1）與f（n）的大小；（n∈N*）
（3）如果函數(shù)g（x）=log₂x-12f（n）（其中x∈[a，b]）對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，其函數(shù)值都小于零，那么a、b應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}為等差數(shù)列，所以數(shù)列中的每一項(xiàng)均可用首項(xiàng)和公差表示，代入a₁+a_2n-1=2n，即可求出a_n．
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出函數(shù)f（n）的表達(dá)式，再用作差法比較f（n+1）與f（n）的大小．
（3）如果函數(shù)g（x）=log₂x-12f（n）（其中x∈[a，b]）對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，其函數(shù)值都小于零，則log₂x-12f（n）＜0恒成立，即當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，log₂x小于12f（n）的最小值，根據(jù)f（n）的單調(diào)性求出最小值即可．

解答：解：（1）設(shè)a_n=a₁+（n-1）d，（n∈N*），由a₁+a_2n-1=2n，得a₁+a₁+（2n-1-1）d=2n，
所以a_n=n
（2）由S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

1

+

1

2

+…+

1

n

f（n）=S_2n-S_n=（

1

1

+

1

2

+…+

1

2n

）-（

1

1

+

1

2

+…+

1

n

）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

因?yàn)閒（n+1）-f（n）=（

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

）-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

）
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0
所以f（n+1）＞f（n） 
（3）由（2）可知：數(shù)列{f（n）}的項(xiàng)的取值是隨n的增大而增大，
當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）的最小值為f（2）=

1

3

+

1

4

=

7

12

由函數(shù)y=log₂x的性質(zhì)可知，在區(qū)間（0，2⁷）上的函數(shù)值恒小于7，
所以a、b應(yīng)滿足條件0＜a＜b＜2⁷．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用，注意兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合．