Question

已知一幾何體的直觀圖和三視圖如下圖示：

假設點E是AB上的動點，試根據以上圖形提供的信息解決以下問題．
（1）三棱錐C-DED₁的體積是否與點E的位置有關？說明理由；
（2）當異面直線AD₁與EC所成角為60°時，請確定動點E的位置；
（3）在（2）的條件下，求證平面DED₁⊥平面D₁EC．

Answer 1

分析：（1）三棱錐C-DED₁的體積與點E的位置無關，因為VC-DED1=VD1-DEC=

1

3

•S△DEC•DD1，所以不論點E在AB上的任何位置都有S△DEC=

1

2

SABCD，所以三棱錐的體積為定值．
（2）作AE'∥CE交CD于E'，可得AE'=D₁E'，進而得到AD₁E'為正三角形，所以AE=DE'=1，這時點E為AB的中點．
（3）由（2）知，E為AB的中點，所以∠AED=∠BEC=45°所以CE⊥DE，由題意可得CE⊥DD₁，DE∩DD₁=D，所以CE⊥平面D₁ED．進而得到面面垂直．

解答：解：由該幾何體的三視圖知，ABCD為矩形，D₁D⊥平面ABCD，AD=DD₁=1，AB=2．
（1）三棱錐C-DED₁的體積與點E的位置無關，
這是∵VC-DED1=VD1-DEC=

1

3

•S△DEC•DD1
∵不論點E在AB上的任何位置都有S△DEC=

1

2

S平行四邊形ABCD=

1

2

×2×1=1
∴不論點E在AB上的任何位置都有VC-DED1=

1

3

×1×1=

1

3

（2）作AE'∥CE交CD于E'，
∵AD=DD₁=1，∴AE'=D₁E'，
又異面直線AD₁與EC所成角為60⁰，∴△AD₁E'為正三角形，
從而AE=DE'=1，這時點E為AB的中點．
（3）由（2）知，E為AB的中點，∴△DAE與△EBC都是等腰直角三角形
∴∠AED=∠BEC=45°∴CE⊥DE，
又∵D₁D⊥平面ABCD，EC?平面ABCD
∴CE⊥DD₁，DE∩DD₁=D
∴CE⊥平面D₁ED
∵EC?平面D₁EC
∴平面DED₁⊥平面D₁EC．

點評：解決三棱錐的體積問題關鍵是找到其膏與底面，對于動點問題一般先找線段的端點或線段的中點，證明面面垂直的方法是在其中一個平面內找另一個平面的垂線即可，此類題目在高考中經常以解答題的形式出現．