Question

在平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經過點F₁（0，-c），F₂（0，c），A（

3

c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）（其中a²-b²=c²）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可用待定系數法，設圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將已知三點坐標代入解方程組即可，最后再轉化為標準方程；（2）分別求出A、C、B、D的坐標，由已知A點在B點右側，C點在D點右側，得關于a、b、c的不等式，即可解得橢圓離心率的取值范圍

解答：解：（1）設⊙M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則由題設得

c2-Ec+F=0 c2+Ec+F=0 3c2+ 3 Dc+F=0

解得

D=- 2 3 3 c E=0 F=-c2

∴⊙M的方程為x²+y²-

2 3

3

cx-c²=0，
其標準方程為（x-

3

3

c）²+y²=

4

3

c²
（2）⊙M與x軸的兩個交點為A（

3

c，0），C（-

3

3

c，0），又B（b，0），D（-b，0），
由題設

3 c＞b - 3 3 c＞-b

即

3 c＞b 3 3 c＜b

所以

1

3

c²＜b²＜3c²，

1

3

c²＜a²-c²＜3c²，
解得

1

2

＜

c

a

＜

3

2

，即

1

2

＜e＜

3

2

．
∴橢圓離心率的取值范圍為（

1

2

，

3

2

）．

點評：本題主要考查了圓的標準方程及其求法，橢圓的幾何性質，橢圓離心率的求法，待定系數法的使用和關于a、b、c的不等式的建立是解決本題的關鍵