Question

（1）已知

a

=（2x-y+1，x+y-2），

b

=（2，-2），①當x、y為何值時，

a

與

b

共線？②是否存在實數x、y，使得

a

⊥

b

，且|

a

|=|

b

|？若存在，求出xy的值；若不存在，說明理由．
（2）設

i

和

j

是兩個單位向量，其夾角是90°，

a

=

i

+2

j

，

b

=-3

i

+

j

，若(k

a

-

b

)⊥(

a

+k

b

)，求實數k的值．

Answer 1

（1）①∵

a

與

b

共線，
∴存在非零實數λ使得

a

=λ

b

，
∴

2x-y+1=2λ x+y-2=-2λ

∴x=

1

3

，y∈R；
②由

a

⊥

b

得，（2x-y+1）×2+（x+y-2）×（-2）=0
所以x-2y+3=0．（i）
由|

a

|=|

b

|得，（2x-y+1）²+（x+y-2）²=8．（ii）
解（i）（ii）得

x=-1 y=1

或

x= 5 3 y= 7 3

；
（2）由題意，|

a

|=

a 2

=

( i +2 j )2

=

5

，①|

b

|=

b 2

=

(-3 i + j )2

=

10

，②

a

•

b

=(

i

+2

j

)(-3

i

+

j

)=-1③…（10分）
∵(k

a

-

b

)⊥(

a

+k

b

)，
∴(k

a

-

b

)•(

a

+k

b

)=0，得，k|

a

|2-k|

b

|2+(k2-1)

a

•

b

=0
將①②③代入得：k²+5k-1=0，…（12分）
解得k=

-5± 29

2

…（14分）